Question

15．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，E為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△DAE沿AE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，連接DB，DC，BE．

（Ⅰ）求證：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由勾股定理得AE⊥BE，由等腰三角形的性質(zhì)得MD⊥AE，由面面垂直的性質(zhì)得MD⊥平面ABCE，由此能證明BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）利用等體積法，求點(diǎn)A到平面D₁BC的距離

解答 （Ⅰ）證明：∵在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，E為DC的中點(diǎn)，
∴AE=EB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AB=2，∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥BE，
取AE的中點(diǎn)M，連接MD，則AD=DE，∴MD⊥AE，
∵平面DAE⊥平面ABCE，∴MD⊥平面ABCE，∴MD⊥BE，
∵M(jìn)D∩AE=M，∴BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ADE，
可得：V_D-ABE=V_B-ADE，
h_D表示D到底面ABE的距離．h為所求的距離．
$\frac{1}{3}•{S}_{△ABE}•{h}_{D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$，
$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×AE×BE×\frac{\sqrt{2}}{2}AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×h$，
$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$1×\sqrt{2}×h$，
解得：h=1．
點(diǎn)A到平面BDE的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判斷，考查點(diǎn)面距離的計(jì)算，正確利用線面垂直的判定是關(guān)鍵．