Question

8．（1）求函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x，x∈[-4，4]的最值
（2）求函數(shù)$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+4x-5lnx$的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-3x²-9x，
f′（x）=3x²-6x-9=3（x²-2x-3）=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在[-4，-1）遞增，在（-1，3）遞減，在（3，4]遞增，
而f（-4）=-76，f（-1）=5，f（3）=-27，f（4）=-30，
∴f（x）_min=f（-4）=-76，f（x）_max=f（-1）=5，
（2）$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+4x-5lnx$，定義域是（0，+∞），
g′（x）=x+4-$\frac{5}{x}$=$\frac{（x+5）（x-1）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴$x=1時(shí)f（x）有極小值f（1）=\frac{9}{2}，f（x）無極大值$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，是一道基礎(chǔ)題．