Question

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤a}\\{{x}^{2}+2x，x＞a}\end{array}\right.$，若存在實數b，使函數g（x）=f（x）十b有兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 如圖所示，令h（x）=x³-x²-2x=x（x-2）（x+1）=0，解得x=0，-1，2．可得：①a=-1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-1}\\{{x}^{2}+2x，x＞-1}\end{array}\right.$，進而判斷出此時函數f（x）至多有一個零點，故可排除C．②a=-2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，x＞-2}\end{array}\right.$，同理可排除A，D．進而得出答案．

解答 解：如圖所示，
令h（x）=x³-x²-2x=x（x-2）（x+1）=0，解得x=0，-1，2．
可得：①a=-1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-1}\\{{x}^{2}+2x，x＞-1}\end{array}\right.$，
此時x³≤-1，x²+2x＞-1，可得：x³+1≤0，x²+2x+1＞0，
此時函數f（x）至多有一個零點．
因此，不存在實數b，使函數g（x）=f（x）十b有兩個零點，可排除C．
②a=-2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，x＞-2}\end{array}\right.$，
此時x³≤-8，x²+2x≥-1．可得：x³+1≤-7，x²+2x+1≥0，
此時函數f（x）至多有一個零點．
因此，不存在實數b，使函數g（x）=f（x）十b有兩個零點，因此可排除A，D．
綜上可得：可排除A，C，D．
故選：B．

點評 本題考查了函數的零點、函數的圖象與性質，考查了分類討論方法、數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．