Question

17．若函數(shù)f（x）在定義域上存在區(qū)間[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，則稱f（x）在[a，b]上具有“反襯性”．下列函數(shù)①f（x）=-x+$\frac{5}{2}$ ②f（x）=-x²+4x  ③f（x）=sin$\frac{π}{2}$x ④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x-1|+1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-1）．x＞2}\end{array}\right.$，具有“反襯性”的為|（　�。�

• A． ②③
• B． ①③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上具有“反襯性”，則等價(jià)為在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$有兩個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可，作出對(duì)應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）在定義域上存在區(qū)間[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，則等價(jià)為函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$有兩個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可．
①若f（x）=-x+$\frac{5}{2}$，作出函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則f（x）具有“反襯性”，

②若f（x）=-x²+4x，作出函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，但函數(shù)在交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)間上不具單調(diào)性，則f（x）不具有“反襯性”，


  ③f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，作出函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)在交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞減，則f（x）具有“反襯性”，


④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x-1|+1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-1）．x＞2}\end{array}\right.$，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-1）=$\frac{1}{2}$[-|x-2|+1]=-$\frac{1}{2}$|x-2|+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)3＜x＜4時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-1）=$\frac{1}{2}$[-$\frac{1}{2}$|x-3|+$\frac{1}{2}$]=-$\frac{1}{4}$|x-2|+$\frac{1}{4}$，


作出函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)在交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)間上不單調(diào)遞減，則f（x）不具有“反襯性”，
綜上具有“反襯性”的函數(shù)是①③，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義題目，正確理解條件結(jié)合數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$有兩個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．