Question

已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在[m，m+l]上的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)1≤a≤e+1時(shí)，求證：f（x）≤x．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x-e^x，得f′（x）=1-e^x，從而f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，討論m≥0時(shí)，m≤-1時(shí)，-1＜m＜0時(shí)的情況，綜合得出函數(shù)的最大值，
（Ⅱ）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，只需證明g（a）≥0在1≤a≤e+1時(shí)恒成立，得g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①，和g（1+e）≥0②，由①②得，g（a）≥0在a∈[1，e+1]時(shí)恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x-e^x，
∴f′（x）=1-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，
令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）遞減，
m≥0時(shí)，f（x）在[m，m+1]遞減，f（x）m_ax=f（m）=m-e^m，
m≤-1時(shí)，f（x）在[m，m+1]遞增，f（x）max=f（m+1）=m+1-e^m+1，
-1＜m＜0時(shí)，f（x）在[m，0]遞增，在[0，m+1]遞減，f（x）_max=f（0）=-1，
綜上f（x）max=

m+1-em+1，  m≤-1 -1，                    -1＜m＜0 m-em，            m≥0

，
（Ⅱ）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，
只需證明g（a）≥0在1≤a≤e+1時(shí)恒成立，
g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①，
g（1+e）=-x（1+e）+x+e^x=e^x-ex，
設(shè)h（x）=e^x-ex，則h′（x）=e^x-e，
x＜1時(shí)，h′（x）＜0，x＞1時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（1）=e-e=0，即g（1+e）≥0②，
由①②得，g（a）≥0在a∈[1，e+1]時(shí)恒成立，
故當(dāng)1≤a≤e+1時(shí)，f（x）≤x．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論思想，是一道綜合題．