Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F（-1，0），且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為$\sqrt{2}-1$．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)$M（-\frac{5}{4}，0）$，證明：$\overline{MA}•\overline{MB}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在，分情況設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明．

解答 （1）解：由橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F（-1，0）的距離最小值為$\sqrt{2}-1$，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴b²=a²-c²=1，
故所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）證明：①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=-1，
可求得$A（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），B（-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
此時(shí)，$\overline{MA}•\overline{MB}$=$（-1+\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}）•（-1+\frac{5}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）=-\frac{7}{16}$；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
∴：$\overline{MA}•\overline{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}，{y}_{1}）•（{x}_{2}+\frac{5}{4}，{y}_{2}）$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}）（{x}_{2}+\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+k（{x}_{1}+1）（k{x}_{2}+1）$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}+\frac{5}{4}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$（1+{k}^{2}）\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+（{k}^{2}+\frac{5}{4}）（-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$\frac{-4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{25}{16}$
=$-2+\frac{25}{16}$
=-$\frac{7}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及向量坐標(biāo)運(yùn)算．根據(jù)韋達(dá)定理，巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求，是解決本類問題的關(guān)鍵，是中檔題．