Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）時(shí)，稱x₂是方程f（g（x））=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根．則方程f（g（x））=0的所有不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過圖象可知方程f（x）=0數(shù)有4個(gè)非零實(shí)數(shù)解，分別為-1，-

1

2

，

1

2

，1，分別令g（x）=sinx=-1，-

1

2

，

1

2

，1，求得對應(yīng)的x值，從而得出正確結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=0，即f[g（x）]=0
通過圖象可知方程f（x）=0有4個(gè)非零實(shí)數(shù)解，分別為-1，-

1

2

，

1

2

，1，
∵函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]，∴g（x）∈[-1，1]．
當(dāng)g（x）=sinx=-1時(shí)，x=-

3π

2

；當(dāng)g（x）=sinx=-

1

2

時(shí)，x=-

π

6

，或 x=-

5π

6

；
當(dāng)g（x）=sinx=

1

2

時(shí)，x=

π

6

，或x=

5π

6

；當(dāng)g（x）=sinx=1時(shí)，x=

π

2

；
因此，方程f（g（x））=0的所有不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是6個(gè)，
故答案為：6．

點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力，屬于中檔題．