Question

11．已知雙曲線Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線為l，圓C：（x-a）²+y²=8與l交于A，B兩點，若△ABC是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O為坐標原點），則雙曲線Γ的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{13}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，利用距離推出ab關(guān)系式，然后求解離心率即可．

解答 解：如圖．依題意，在△RtACB中，BC=AC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=4，又$\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{OA}$（其中O為坐標原點），∴OB=5
在△OCB中，由余弦定理得a=OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}-2BC•OBcos4{5}^{0}}=\sqrt{13}$．
因為點C（a，0）到漸進線y=$\frac{a}x$的距離為2，即$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=2$．
解得b=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，即得e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{9}$，∴雙曲線Γ的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故選：A

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，直線與圓的位置關(guān)系的應用，考查計算能力，屬于中檔題．