Question

2．已知拋物線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），直線l：y=x+b與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且|AB|=4．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px （p＞0），把點(diǎn)（1，2）代入，求得p的值，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線l的方程和拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得b的值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px （p＞0），把點(diǎn)（1，2）代入可得 4=2p×1，求得 p=2，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y²=4x．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ 可得 x²+（2b-4）x+b²=0，∴x₁+x₂=4-2b，x₁•x₂=b²，
再根據(jù)|AB|=4=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（4-2b）}^{2}-{4b}^{2}}$，求得b=$\frac{1}{2}$，
故直線l的方程為 y=x+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題．