Question

2．給出如下定義：對函數(shù)y=f（x），x∈D．若存在實(shí)常數(shù)C，對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=C成立，則稱函數(shù)y=f（x）為“和諧函數(shù)”，常數(shù)C為函數(shù)y=f（x）的“和諧數(shù)”，若函數(shù)g（x）=lnx，x∈[e²，e³]為“和諧函數(shù)”，則其可能的“和諧數(shù)”為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)和諧函數(shù)的定義得g（x₁）+g（x₂）=lnx₁x₂=2C，于是x₁x₂=e^2C．故2C=5．

解答 解：∵g（x）=lnx，x∈[e²，e³]為“和諧函數(shù)”，
∴存在常數(shù)C，任意的x₁∈[e²，e³]，存在唯一的x₂∈[e²，e³]，使得g（x₁）+g（x₂）=lnx₁x₂=2C，
∴x₁x₂=e^2C．即x₂=$\frac{{e}^{2C}}{{x}_{1}}$，
∵x₁∈[e²，e³]，∴x₂∈[e^2C-3，e^2C-2]⊆[e²，e³]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2C-3≥2}\\{2C-2≤3}\end{array}\right.$，∴2C=5，即C=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了對新定義的理解，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．