Question

【題目】在三棱錐D-ABC中，，且，，M，N分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.B.平面ABD

C.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出三棱錐D-ABC，取中點(diǎn)，連接：對(duì)于A，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及線面垂直判定定理可證明平面，從而即可判斷A；對(duì)于B，由中位線定理及線面平行判定定理即可證明；對(duì)于C，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐A-CMN的體積最大，由線段關(guān)系及三棱錐體積公式即可求解；對(duì)于D，假設(shè)，通過(guò)線面垂直判定定理可得矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)不成立，即可說(shuō)明原命題成立即可.

根據(jù)題意，畫(huà)出三棱錐D-ABC如下圖所示，取中點(diǎn)，連接：

對(duì)于A，因?yàn)?/span>，且，，

所以為等腰直角三角形，

則且，

則平面，

所以，即A正確；

對(duì)于B，因?yàn)?/span>M，N分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，

由中位線定理可得，而平面，平面，

所以平面，即B正確；

對(duì)于C，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐A-CMN的體積最大，

則最大值為，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，假設(shè)，由,且,

所以平面，則，

又因?yàn)?/span>，且，

所以平面，由平面，則，

由題意可知，因而不能成立，因而假設(shè)錯(cuò)誤，所以D正確；

綜上可知，正確的為ABD，

故選：ABD.