【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點個數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點;設(shè)為的極值點,為的零點且,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)(i)證明見解析;(ii)證明見解析.
【解析】
先對函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對a進行分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性,進而可確定極值,
轉(zhuǎn)化為證明只有一個零點,結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識可證;
由題意可得,,代入可得,,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可證.
解:解:由已知,的定義域為,
,
①當(dāng)時,,從而,
所以在內(nèi)單調(diào)遞減,無極值點;
②當(dāng)時,令,
則由于在上單調(diào)遞減,,,
所以存在唯一的,使得,
所以當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即,
所以當(dāng)時,在上有且僅有一個極值點.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)無極值點;當(dāng)時,函數(shù)只有一個極值點;
證明:由知.
令,由得,
所以在內(nèi)有唯一解,從而在內(nèi)有唯一解,
不妨設(shè)為,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以是的唯一極值點.
令,則當(dāng)時,,
故在內(nèi)單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時,,所以.
從而當(dāng)時,,且
又因為,故在內(nèi)有唯一的零點.
由題意,即,
從而,即.
因為當(dāng)時,,又,
故,即,
兩邊取對數(shù),得,
于是,整理得.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓,為橢圓上一點,過點的直線交橢圓于兩點,射線交橢圓于點Q.
(i)若為橢圓上任意一點,求的值;
(ii)若點坐標(biāo)為,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐D-ABC中,,且,,M,N分別是棱BC,CD的中點,下面結(jié)論正確的是( )
A.B.平面ABD
C.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)·均輸》中有如下問題:“今有五人分十錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中,甲所得為( )
A.錢B.錢C.錢D.錢
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、分別為橢圓的左、右焦點,點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上,則橢圓的離心率為______;若過且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點,且,則___.
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【題目】截至2019年,由新華社《瞭望東方周刊》與瞭望智庫共同主辦的"中國最具幸福感城市"調(diào)查推選活動已連續(xù)成功舉辦12年,累計推選出60余座幸福城市,全國約9億多人次參與調(diào)查,使"城市幸福感"概念深入人心.為了便于對某城市的"城市幸福感"指數(shù)進行研究,現(xiàn)從該市抽取若干人進行調(diào)查,繪制成如下不完整的2×2列聯(lián)表(數(shù)據(jù)單位:人).
男 | 女 | 總計 | |
非常幸福 | 11 | 15 | |
比較幸福 | 9 | ||
總計 | 30 |
(1)將列聯(lián)表補充完整,并據(jù)此判斷是否有90%的把握認(rèn)為城市幸福感指數(shù)與性別有關(guān);
(2)若感覺"非常幸福"記2分,"比較幸福"記1分,從上表男性中隨機抽取3人,記3人得分之和為,求的分布列,并根據(jù)分布列求的概率
附:,其中.
) | 0. 10 | 0. 05 | 0. 010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6. 635 | 10. 828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為A,上頂點為B,且滿足向量 。
(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于頂點的點,以線段PB為直徑的圓經(jīng)過F1,問是否存在過F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由。
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