Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為H，點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且，當(dāng)k最大時，點P恰好在以H，F為焦點的雙曲線上，則k的最大值為_____，此時該雙曲線的離心率為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

畫出拋物線，過作拋物線準(zhǔn)線于，連接，設(shè)直線的傾斜角為，由拋物線定義可得，由題意當(dāng)k最大時，取得最小值.而當(dāng)取得最小時，直線與拋物線相切，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線可求得，進而得切點坐標(biāo)，即可由雙曲線定義及幾何性質(zhì)求得離心率.

根據(jù)題意畫出拋物線，過作拋物線準(zhǔn)線于，連接.

由拋物線定義可知，由，（），

設(shè)直線的傾斜角為，則，

可得，

當(dāng)k最大時，取得最小值，且，

當(dāng)取得最小值時直線與拋物線相切，

設(shè)直線的方程為，

則，化簡可得，

因為直線與拋物線相切，則，

解得，由可得，同時可得切點橫坐標(biāo)為，

將切點橫坐標(biāo)帶入拋物線可得，

因為點P恰好在以H，F為焦點的雙曲線上，

由雙曲線定義及兩點間距離公式可得，

，

所以雙曲線離心率為，

故答案為：1；.