Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.

（1）求C的方程；

（2）若l經(jīng)過(guò)F，求l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）作垂直準(zhǔn)線交于，作垂直準(zhǔn)線交于，交軸于，作垂直準(zhǔn)線交于.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線，化簡(jiǎn)后由韋達(dá)定理并結(jié)合中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可確定斜率，進(jìn)而求得直線方程.

（1）拋物線的準(zhǔn)線為，

則，解得，

所以拋物線.

（2）作垂直準(zhǔn)線交于，作垂直準(zhǔn)線交于，交軸于，作垂直準(zhǔn)線交于，幾何關(guān)系如下圖所示：

因?yàn)榫�段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2.

則，

由梯形中位線可知

由拋物線定義可知

直線經(jīng)過(guò)F，當(dāng)斜率不存在時(shí)，不合題意，

所以直線斜率一定存在，

拋物線，則焦點(diǎn).

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立拋物線，化簡(jiǎn)可得，

則，

解得，

所以直線的方程為.