Question

14．已知拋物線y²=2px的焦點為F，準線方程是x=-1．
（I）求此拋物線的方程；
（Ⅱ）設點M在此拋物線上，且|MF|=3，若O為坐標原點，求△OFM的面積．

Answer 1

分析 （I）利用準線方程是x=-1，求此拋物線的方程；
（Ⅱ）設點M在此拋物線上，且|MF|=3，利用拋物線的定義求出M的坐標，即可求△OFM的面積．

解答 解：（Ⅰ）因為拋物線的準線方程為x=-1，
所以$\frac{p}{2}=1$…（2分）
得p=2…（4分）
所以，拋物線的方程為 y²=4x…（5分）
（Ⅱ）設M（x₀，y₀），因為點M（x₀，y₀）在拋物線上，且|MF|=3，
由拋物線定義知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$=3…（8分）
得x₀=2…（10分）
由M（2，y₀）在拋物線上，滿足拋物線的方程為y²=4x知y₀=±2$\sqrt{2}$…（12分）
所以△OMP的面積為$\frac{1}{2}|OF|$|y₀|=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．…（14分）

點評 本題考查拋物線的方程與定義，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．