Question

14．在極坐標系中，曲線ρ³cosθ+1=0上的點到A（1，0）的距離的最小值為$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 曲線ρ³cosθ+1=0化為（x²+y²）x+1=0，可得y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$，設P（x，y）是曲線上的任意一點，利用兩點之間的距離公式可得|PA|=$\sqrt{1-（2x+\frac{1}{x}）}$，由y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$≥0，解得-1≤x＜0，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：曲線ρ³cosθ+1=0化為（x²+y²）x+1=0，
∴y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$，
設P（x，y）是曲線上的任意一點，
則|PA|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}-\frac{{x}^{3}+1}{x}}$=$\sqrt{1-（2x+\frac{1}{x}）}$，
由y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$≥0，解得-1≤x＜0，
由$-2x+\frac{1}{-x}$$≥2\sqrt{-2x•\frac{1}{-x}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴|PA|_min=$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．
故答案為：$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

點評 本題考查了把極坐標化為直角坐標、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質，考查了計算能力，屬于中檔題．