Question

過x軸正半軸上一點P的直線與拋物線y²=4x交于兩點A、B，O是原點，A、B的橫坐標分別為3和

1

3

，則下列：
①點P是拋物線y²=4x的焦點；
②

OA

•

OB

=-2；
③過A、B、O三點的圓的半徑為

91

3

；
④若三角形OAB的面積為S，則

9

4

＜S＜

7

3

；
⑤若

AP

=λ

PB

，則λ=3．
在這五個命題中，正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：①設P（a，0），設直線方程，聯立拋物線方程，消去y，得到二次方程，由兩根之積，即可得到a；
②求出A，B的坐標，由向量的數量積的坐標表示，即可得到；
③運用兩種方法求出三角形ABO的面積，注意面積公式S△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

；
④由△ABO的面積，即可判斷；
⑤

AP

=λ

PB

，即

AF

=λ

FB

，由A，F，B的坐標，即可得到．

解答： 解：由圖可得A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
①設P（a，0），過P的直線為y=k（x-a），聯立拋物線方程消去y，得k²x²-（2ak²+4）x+k²a²=0，則3×

1

3

=a²，a=1，
即P（1，0）即為焦點F，故①對；
②

OA

•

OB

=（3，2

3

）•（

1

3

，-

2 3

3

）=3×

1

3

-2

3

×

2 3

3

=-3，
故②錯；
③S_△ABO=

1

2

×1×（2

3

+

2 3

3

）=

4 3

3

=

AB•OA•OB

4R

=

16 3 × 21 × 13 3

4R

，R=

91

3

，故③對；
④S_△ABO=

4 3

3

＞

9

4

，

4 3

3

＜

7

3

，故④對；
⑤若

AP

=λ

PB

，即

AF

=λ

FB

，λ=

1-3

1 3 -1

=3，故⑤對．
故答案為：①③④⑤

點評：本題考查拋物線的定義、性質和方程，考查直線方程和拋物線方程聯立，消去未知數，得到二次方程，應用韋達定理求解，同時考查平面向量的數量積的坐標表示，和向量共線定理，以及求外接圓的半徑應用面積公式，屬于中檔題．