Question

1．函數(shù)f（x）=（x²+ax+1 ）e^x．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=l，求證：對任意x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f （x₂）|＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+（a+2）x+a+1≥0對x∈（2，3）恒成立，計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=1，可得a=-1，從而函數(shù)f（x）在[0，1]上遞增，故f_max（x）=f（1）=e，f_min（x）=f（0）=1，即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]，
因?yàn)閒（x）在（2，3）上遞增，所以f′（x）≥0對x∈（2，3）恒成立，
即：x²+（a+2）x+a+1≥0對x∈（2，3）恒成立，
所以f′（2）≥0，所以a≥-3；
（Ⅱ）因?yàn)榍�線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=1，
所以f′（0）=0，所以a=-1，
從而f（x）=（x²-x+1）e^x，f′（x）=e^x（x²+x），
顯然函數(shù)f（x）在[0，1]上遞增，
故f（x）在[0，1]在最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1，
從而對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，在閉區(qū)間上的最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．