Question

17．己知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=-1，a_n=$\frac{3}{n+2}$S_n（其中n∈N^*），則S_n=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n與S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，進(jìn)而利用累乘法計算可知，當(dāng)n≥2時a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，進(jìn)而利用S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{3}{n+2}$S_n，
∴S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
兩式相減得：a_n=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
又∵a₁=-1，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{3}{1}$•（-1）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=-1滿足上式，
∴a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n=-$\frac{n+2}{3}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$，
故答案為：-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查累乘法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．