Question

2．已知a_n是二項式（2+$\sqrt{x}$）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式中x的二項式系數(shù)，若數(shù)列{b_n}滿足b₁=160，b_n=$\frac{2{a}_{n+2}{a}_{n+3}}{（n+2）{a}_{n+1}}$（n≥2，n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的最小項是（　　）

• A． 40
• B． 10
• C． 160
• D． 320

Answer 1

分析 ：2+$\sqrt{x}$）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$${2}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，令r=2，可得：T₃=2^n-2${∁}_{n}^{2}$x．可得a_n=${∁}_{n}^{2}$．再利用組合數(shù)計算公式即可得出．

解答 解：（2+$\sqrt{x}$）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$${2}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，令r=2，可得：T₃=2^n-2${∁}_{n}^{2}$x．
∴a_n是二項式（2+$\sqrt{x}$）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式中x的二項式系數(shù)是${∁}_{n}^{2}$，
∴a_n=${∁}_{n}^{2}$．
∴b_n=$\frac{2{a}_{n+2}{a}_{n+3}}{（n+2）{a}_{n+1}}$=$\frac{2{∁}_{n+2}^{2}{∁}_{n+3}^{2}}{（n+2）{∁}_{n+1}^{2}}$=$\frac{（n+2）（n+3）}{n}$=n+$\frac{6}{n}$+5，
可知：當n=2或3時，b_n取得最小值10，
故選：B．

點評 本題考查了二項式定理的應用、組合數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．