Question

如圖所示，已知三棱錐P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，側(cè)棱PA、PB、PC上各有一點A₁，B₁、C₁，且PA₁=a₁，PB₁=b₁，PC₁=c₁，求證：

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

abc

a1b1c1

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：把棱錐P-A₁B₁C₁看作棱錐C₁-PA₁B₁，把棱錐P-ABC看作C-PAB，分別從C₁和C作底面的高h(yuǎn)₁和h，由此利用等積法能證明

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

abc

a1b1c1

．

解答： 證明：把棱錐P-A₁B₁C₁看作棱錐C₁-PA₁B₁，
把棱錐P-ABC看作C-PAB，
分別從C₁和C作底面的高h(yuǎn)₁和h，
則

h1

h

=

PC1

PC

=

c1

c

，
則VC1-PA1B1=

1

3

S△PA1B1•h1=

1

3

•

1

2

•a1b1sin∠A1PB1•h1，
VC-PAB=

1

3

S△PAB•h=

1

3

•

1

2

absin∠APB•h，
∴

VP-ABC

VP-A1B1C1

=

VC1-PA1B1

VC-PAB

=

1 3 • 1 2 a1b1sin∠A1PB1•h1

1 3 • 1 2 absin∠APB•h

=

abc

a1b1c1

．

點評：本題考查等式的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等積法和空間思維能力的培養(yǎng)．