Question

10．如圖，已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的下，上焦點(diǎn)，過(guò)F₂點(diǎn)作以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓的切線，P為切點(diǎn)，若切線段PF₂被一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知F₂（0，c），直線PF₂：y-c=-$\sqrt{3}x$，過(guò)F₂點(diǎn)作以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓的方程為x²+（y+c）²=c²，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-c=-\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y+c）^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，求出P，從而求出M，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的下，上焦點(diǎn)，過(guò)F₂點(diǎn)作以F₁為圓心，
|OF₁|為半徑的圓的切線，P為切點(diǎn)，若切線段PF₂被一條漸近線平分，
∴F₂（0，c），|F₁F₂|=2c，|PF₁|=c，∴直線PF₂的斜率k=-$\sqrt{3}$，
∴直線PF₂：y-c=-$\sqrt{3}x$，過(guò)F₂點(diǎn)作以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓的方程為x²+（y+c）²=c²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-c=-\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y+c）^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，得P（$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，-$\frac{1}{2}$c），
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，$\frac{1}{4}c$），
∵切線段PF₂被一條漸近線平分，∴M（$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，$\frac{1}{4}c$）在漸近線y=$\frac{a}x$上，
∴$\frac{1}{4}c=\frac{a}×\frac{\sqrt{3}}{4}c$，∴b=$\sqrt{3}a$，∴c²=a²+b²=4a²，c=2a，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}=2$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．