Question

15．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點(diǎn)P（1，0）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知D為橢圓的左端點(diǎn)，問：是否存在直線l使得△ABD的面積為$\frac{10\sqrt{2}}{3}$？若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得點(diǎn)$（1，\sqrt{2}）$在橢圓C上，再由離心率性質(zhì)列出方程組，求出a，b，從而求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓聯(lián)立，得（m²+4）y²+2my-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式能求出直線方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點(diǎn)P（1，0）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)$（1，\sqrt{2}）$在橢圓C上．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\\{a^2}-{b^2}={c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$，解得$a=3，b=\frac{3}{2}$．…（4分）
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{{4{y^2}}}{9}=1$．…（5分）
（2）當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，△ABD不存在，…（6分）
∴設(shè)直線l的方程為x=my+1，并設(shè)兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+\frac{{4{y^2}}}{9}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-8=0，
其判別式△=4m²+32（m²+4）=36m²+128＞0，…（8分）
∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{8}{{{m^2}+4}}$，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}|DP||{y_1}-{y_2}|=2\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$2\sqrt{{{（\frac{2m}{{{m^2}+4}}）}^2}+\frac{32}{{{m^2}+4}}}=\frac{4}{{{m^2}+4}}\sqrt{9{m^2}+32}$…（10分）
假設(shè)存在直線l，則有，$\frac{4}{{{m^2}+4}}\sqrt{9{m^2}+32}=\frac{10}{3}\sqrt{2}$，
解得m²=2，負(fù)解刪除，∴$m=±\sqrt{2}$，…（12分）
故存在直線l方程為$x=±\sqrt{2}y+1$，使得${S_{△ABD}}=\frac{{10\sqrt{2}}}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．