Question

20．下列命題中正確的是（　　）

• A． 當x＞0且x≠1時，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2
• B． 當x＞0時，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2
• C． 當0＜θ≤$\frac{π}{2}$時，sinθ+$\frac{2}{sinθ}$的最小值為2$\sqrt{2}$
• D． 當-$\frac{1}{2}$≤x＜0時，x+$\frac{1}{x}$有最大值-2

Answer 1

分析 由0＜x＜1，運用對數函數的性質，判斷A錯；
運用基本不等式可得B正確；
當0＜θ≤$\frac{π}{2}$時，令t=sinθ（0＜t≤1），求t+$\frac{2}{t}$的導數，判斷單調性即可判斷C；
當-$\frac{1}{2}$≤x＜0時，求出x+$\frac{1}{x}$的導數，判斷單調性，即可判斷D．

解答 解：對于A，當0＜x＜1時，lgx＜0，可得lgx+$\frac{1}{lgx}$＜0，故A不對；
對于B，當x＞0時，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$=2，當x=1時取得等號，故B對；
對于C，當0＜θ≤$\frac{π}{2}$時，令t=sinθ（0＜t≤1），即有t+$\frac{2}{t}$的導數為1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
t+$\frac{2}{t}$在（0，1]遞減，可得最小值為3，故C不對；
對于D，當-$\frac{1}{2}$≤x＜0時，x+$\frac{1}{x}$的導數為1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，即x+$\frac{1}{x}$在[-$\frac{1}{2}$，0）遞減，
可得最大值為-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{5}{2}$，故D不對．
故選：B．

點評 本題考查基本不等式的運用，同時考查單調性的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．