Question

9．以拋物線x²=2my（m＞0）的頂點(diǎn)O為圓心的圓，截該拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為$\sqrt{3}$m
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過圓C上任一點(diǎn)M作該圓的切線l，它與橢圓$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}$=1（a∈R，且a＞2）相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求m的可能取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于圓C截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為$\sqrt{3}m$，所以圓C的半徑$r=\sqrt{{{（{\frac{m}{2}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}m}}{2}}）}^2}}=m$，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，得出m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，即可求m的可能取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是$y=-\frac{m}{2}$（m＞0），由于圓C截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為$\sqrt{3}m$，所以圓C的半徑$r=\sqrt{{{（{\frac{m}{2}}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}m}}{2}}）}^2}}=m$，故所求圓的方程是x²+y²=m²；
（Ⅱ）當(dāng)圓C的切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+t，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
代入橢圓方程，可得（2+ak²）x²+2aktx+at²-2a=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2akt}{2+a{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{a{t}^{2}-2a}{2+a{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
∴（1+k²）×$\frac{a{t}^{2}-2a}{2+a{k}^{2}}$+kt×（-$\frac{2akt}{2+a{k}^{2}}$）+t²=0①
∵直線l是圓的切線，
∴m=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴t²=m²（1+k²），
代入①整理可得m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，
∵a＞2，∴△＞0恒成立；
當(dāng)圓C的切線l的斜率不存在時(shí)，由OA⊥OB，同樣可得m²=$\frac{2a}{a+2}$=2-$\frac{4}{a+2}$，
∵a＞2，∴1＜m²＜2，
∵m＞0，
∴1＜m＜$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．