Question

18．如圖，已知函數(shù)f（x）=ax³+b，其圖象上一點P處的切線為 l：y=4x-4，且點P的橫坐標為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所 圍成的曲邊圖形區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用導數(shù)求出該點的斜率，然后求出切點的坐標，得出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)定積分即可求出直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切線的斜率 k=12a，
∵切線方程為：y=4x-4，∴切點坐標為了（2，4），
∴12a=4，∴a=$\frac{1}{3}$，
且f（2）=ax³+b=4，∴b=$\frac{4}{3}$，
即f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$，
（2）直線l：y=4x-4與x軸的交點的橫坐標為1，
所以直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積為：
S=${∫}_{0}^{1}$（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$）dx+${∫}_{1}^{2}$[（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$）-（4x-4）]dx
=（$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{4}{3}$x）${|}_{0}^{1}$+（$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{16}{3}$x-2x²）${|}_{1}^{2}$
=$\frac{1}{12}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{12}$×2⁴+$\frac{16}{3}$×2-2×2²-（$\frac{1}{12}$+$\frac{16}{3}$-2）=2．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了定積分的運用，屬于中檔題．