Question

5．已知函數(shù)f（x）=|2x-3|+|2x-1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）設(shè)m．n∈R，且m+n=1，求證：$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)$x≤\frac{1}{2}$時(shí)，②當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$時(shí)，③當(dāng)$x≥\frac{3}{2}$時(shí)，去掉絕對(duì)值符號(hào)求解不等式即可．
（2）要證$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立，只需證$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$，利用分析法的證明步驟，結(jié)合基本不等式證明即可．

解答 （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（1）①當(dāng)$x≤\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式化為3-2x+1-2x≥3，解得，$x≤\frac{1}{4}$；
∴$x≤\frac{1}{4}$
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}$時(shí)，原不等式化為3-2x+2x-1≥3，無(wú)解；
③當(dāng)$x≥\frac{3}{2}$時(shí)，原不等式化為2x-3+2x-1≥3，解得，$x≥\frac{7}{4}$；
∴$x≥\frac{7}{4}$
綜上，不等式f（x）≥3的解集為{x|$x≤\frac{1}{4}$或$x≥\frac{7}{4}$}．…（5分）
（2）|2x-3|+|2x-1|≥|（2x-3）-（2x-1）|=2，…（7分）
要證$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立
只需證$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$，
即證${（\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}）^2}≤8$，
即證$2m+1+2n+1+2\sqrt{（2m+1）（2n+1）}≤8$，
即證$\sqrt{（2m+1）（2n+1）}≤2$，
即證（2m+1）（2n+1）≤4，
即證$mn≤\frac{1}{4}$，
又m+n=1，
∴$mn≤{（\frac{m+n}{2}）^2}=\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析法證明不等式的方法，基本不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．