Question

10．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足a（1-cosB）=bcosA，c=3，S_△ABC=2$\sqrt{2}$，則b=4$\sqrt{2}$或2．

Answer 1

分析 由正弦定理、兩角和的正弦公式等化簡所求的式子，由正弦定理和條件求出a的值，利用三角形的面積公式求出sinB，由平方關(guān)系求出cosB，由余弦定理求出b的值．

解答 解：由正弦定理得，sinA（1-cosB）=sinBcosA，
∴sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），
∵A+B=π-C，∴sinA=sinC，即a=c=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=2$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}×3×3×sinB=2\sqrt{2}$，
解得sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cosB=$±\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$±\frac{7}{9}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
當(dāng)cosB=$\frac{7}{9}$時，b²=9+9-2×$9×\frac{7}{9}$=4，解得b=2，
當(dāng)cosB=-$\frac{7}{9}$時，b²=9+9+2×$9×\frac{7}{9}$=32，解得b=4$\sqrt{2}$，
∴b=4$\sqrt{2}$或2，
故答案為：4$\sqrt{2}$或2．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理，兩角和的正弦公式等的綜合應(yīng)用，以及分類討論思想，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．