Question

將函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=cosx線性組合構(gòu)成的函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（m，n是常數(shù)）稱為“優(yōu)美函數(shù)”．
（Ⅰ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)m=

∫

e 1

1

x

dx，n=|1+

2

i|（i為虛數(shù)單位）時(shí)，
角A對(duì)應(yīng)的“優(yōu)美函數(shù)”函數(shù)值f（A）=2，若a=2，c=

3

b，求△ABC的面積；
（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中的“優(yōu)美函數(shù)”f（x），若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出m，n，得到f（x）解析式并化簡(jiǎn)，利用f（A）=2求出A，利用余弦定理求出b，c，計(jì)算面積；
（Ⅱ）求出f（x）的范圍，由關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上總有實(shí)數(shù)解得到-log₂k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，m=

∫

e 1

1

x

dx=

lnx|

e 1

=1，n=|1+

2

i|=

3

，
所以f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)
∴f(A)=2sin(A+

π

3

)=2，
∴sin(A+

π

3

)=1，
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

，∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴

3

2

=

b2+3b2-4

2 3 b2

∴b=2，
∴c=2

3

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

，
所以，△ABC的面積為

3

…（6分）
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(x+

π

3

)，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin(x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，2]，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在[0，

π

2

]內(nèi)恒有實(shí)數(shù)解，即1≤-log₂k≤2，
即-2≤log₂k≤-1，即

1

4

≤k≤

1

2

，即k的取值范圍為[

1

4

，

1

2

]…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及由角的范圍求三角函數(shù)的范圍以及恒成立的問題，屬于中檔題．