有一個倒置圓錐，它的軸截面是一個正三角形，容器內放一個半徑為R的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求此時容器內水的深度．
考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）
專題：空間位置關系與距離
分析：由題意求出球的體積，求出圓錐的體積，設出水的高度，求出水的圓錐的體積，利用V水+V球=V容器，求出圓錐內水平面高．
解答： 解：如圖．在容器內注入水，并放入一個半徑為R的鐵球，這時水面記為AB，
將球從圓錐內取出后，這時水面記為EF．
三角形PAB為軸截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圓O是正三角形PAB的內切圓．
由題意可知，DO=CO=R，AO=2R=OP，AC=
3
R，
∴V球=
4
3
πR3，
未取出小于時，圓錐的體積，即V水+V球=
1
3
π（
3
R）2•3R=3πR3，
又設HP=h，則EH=
3
3
h
∴V水=
1
3
π（
3
3
h）2•h=
π
9
h3，
則
π
9
h3+
4
3
πR3=3πR3，
∴h=
315
R
即圓錐內的水深是
315
R
點評：本小題主要考查球的體積和表面積、旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）為R+→R+的函數(shù)，對任意正實數(shù)x，f（5x）=5f（x），當x∈[1，5]時f（x）=2-|x-3|，則使得f（x）=f（665）的最小實數(shù)x為（　�。�
A、45B、65C、85D、165

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

①求函數(shù)f（x）=
4x-x2
的定義域與值域；
②計算lg4+2lg5+eln2+log 
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=cosx線性組合構成的函數(shù)f（x）=msinx+ncosx（m，n是常數(shù)）稱為“優(yōu)美函數(shù)”．
（Ⅰ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，當m=
∫
e
1
1
x
dx，n=|1+
2
i|（i為虛數(shù)單位）時，
角A對應的“優(yōu)美函數(shù)”函數(shù)值f（A）=2，若a=2，c=
3
b，求△ABC的面積；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中的“優(yōu)美函數(shù)”f（x），若關于x的方程f（x）+log2k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=3an+2n．
（1）求證：數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列． 
（2）若bn=n×（an-2），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x3在點（2，f（2））處切線的斜率為（　�。�
A、4B、8C、12D、48

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2x，-2≤x≤1且x∈Z，則f（x）的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-1，2)，
b
=(2，3)，若
m
=λ
a
+
b
與
n
=
a
-
b
共線，則實數(shù)λ的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2，則a4=（　�。�
A、-7B、-9C、7D、9

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