【題目】已知函數(shù)().
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有極大值M,求證:.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分、、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)從而判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)由(1)知只有當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值,求出極大值M將不等式轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性證明成立即可.
(1).
①當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增;
②當(dāng)時(shí),令,,,
則在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間和單調(diào)遞減;
③當(dāng)時(shí),令,,恒成立,則在上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間和單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞減;在區(qū)間單調(diào)遞增.
則函數(shù)沒(méi)有極大值,
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,則函數(shù)沒(méi)有極大值,
只有當(dāng)時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間和單調(diào)遞減,,
要證明,即證:(),
令(),,
設(shè),則(),,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時(shí),取得唯一的極小值,也是最小值.
的最小值是成立,
從而,(),即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn).x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線與曲線C2交于O,P兩點(diǎn),射線與曲線C1交于點(diǎn)Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=BC=2,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn).
(1)證明:DE⊥平面BCC1B1;
(2)若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°,求二面角C﹣BD﹣E的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的圾坐標(biāo)方,且直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若,點(diǎn)滿足,求此時(shí)r的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“一世”又叫“一代”.東漢·王充《論衡·宜漢篇》:“且孔子所謂一世,三十年也”,清代·段玉裁《說(shuō)文解字注》:“三十年為一世,按父子相繼曰世”.而當(dāng)代中國(guó)學(xué)者測(cè)算“一代”平均為25年.另根據(jù)國(guó)際一家研究機(jī)構(gòu)的研究報(bào)告顯示,全球家族企業(yè)的平均壽命其實(shí)只有26年,約占總量的的家族企業(yè)只能傳到第二代,約占總量的的家族企業(yè)只能傳到第三代,約占總量的家族企業(yè)可以傳到第四代甚至更久遠(yuǎn)(為了研究方便,超過(guò)四代的可忽略不計(jì)).根據(jù)該研究機(jī)構(gòu)的研究報(bào)告,可以估計(jì)該機(jī)構(gòu)所認(rèn)為的“一代”大約為( )
A.23年B.22年C.21年D.20年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù),其前項(xiàng)和為,我們稱(chēng)滿足條件“對(duì)任意的,均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.
(1)試分別判斷數(shù)列,是否為“好”數(shù)列,其中,,,并給出證明;
(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列.
① 若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 若,且對(duì)任意給定正整數(shù)(),有成等比數(shù)列,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(且)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有,,則當(dāng)的面積最大時(shí),AC邊上的高為_______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,設(shè)函數(shù),.
(1)試討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且滿足?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
注:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中盈不足章中有這樣一則故事:“今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安,至齊. 齊去長(zhǎng)安三千里. 良馬初日行一百九十三里,日增一十二里;駑馬初日行九十七里,日減二里.” 為了計(jì)算每天良馬和駑馬所走的路程之和,設(shè)計(jì)框圖如下圖. 若輸出的 的值為 350,則判斷框中可填( )
A. B.
C. D.
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