Question

9．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x＞0}\\{\frac{1}{2}-|\frac{1}{2}+x|，x≤0}\end{array}\right.$，關(guān)于x的方程f（x）=kx-k至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≥-$\frac{1}{3}$且k≠1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與g（x）=k（x-1），至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=kx-k至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得f（x）=k（x-1）至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)g（x）=k（x-1），則等價(jià)為f（x）與g（x）至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
g（x）=k（x-1），過(guò)定點(diǎn)C（1，0），
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x-1，
在x=1處，f′（1）=2-1=1，
當(dāng)k=1時(shí)，g（x）=x-1與f（x）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$+x=x+1平行，
此時(shí)兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
當(dāng)k＞1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)0≤k＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)k＜0時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)k（-$\frac{1}{2}$-1）=$\frac{1}{2}$，即k=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜k＜0時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
綜上要使方程f（x）=kx-k至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k＞-$\frac{1}{3}$且k≠1，
故答案為：k≥-$\frac{1}{3}$且k≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．