Question

17．已知c=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$，直線$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a、b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=c，（c＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，則$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的最小值為1．

Answer 1

分析 先求出c，再由直線$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=2的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：c=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=$\frac{2}{π}×\frac{π}{2}$=1
∵直線$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b為非零實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$．
∴圓心O（0，0）到直線$\sqrt{2}$ax+by=2的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為2a²+b²=8．
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$）（2a²+b²）=$\frac{1}{8}$（2+2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$）≥$\frac{1}{8}$（4+4）=1，
當(dāng)且僅當(dāng)b²=2a²=1取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的最小值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交問題弦長(zhǎng)問題、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題