Question

6．已知對任意實數(shù)y＞x＞0，都存在一個以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx為三邊長的三角形，則實數(shù)λ的范圍為$[1，2+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由y＞x＞0，可得$x+y＞\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．由于對任意實數(shù)y＞x＞0，都存在一個以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx為三邊長的三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{y＞x＞0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+λx＞x+y}\\{x+y+\sqrt{{x}^{2}{+}^{2}}＞λx}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵y＞x＞0，
∴$（x+y）^{2}-（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}）^{2}$=2xy＞0，
∴$x+y＞\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
∵對任意實數(shù)y＞x＞0，都存在一個以x+y，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，λx為三邊長的三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y＞x＞0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+λx＞x+y}\\{x+y+\sqrt{{x}^{2}{+}^{2}}＞λx}\end{array}\right.$，
化為$1+\frac{y}{x}-\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$＜λ＜$1+\frac{y}{x}$+$\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令$\frac{y}{x}=t＞1$，化為$1+t-\sqrt{1+{t}^{2}}$＜λ＜1+t+$\sqrt{1+{t}^{2}}$．
解得1≤$λ≤2+\sqrt{2}$．
故答案為：$[1，2+\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了組成三角形三邊的三個實數(shù)之間的大小關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．