Question

20．某校高二學(xué)生有800名，從中抽取100名學(xué)生期末考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（Ⅰ）求圖中α的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)；（精確到個(gè)位數(shù)）
（Ⅲ）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比如表所示，求推測高二這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)．

分?jǐn)?shù)段	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
x：y	1：1	2：1	3：4	4：5

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率和為1，列出方程求出α的值；
（Ⅱ）利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)表格，求出學(xué)生的語文成績對(duì)應(yīng)的人數(shù)，即可得出數(shù)學(xué)成績對(duì)應(yīng)的人數(shù)是多少．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，
（0.04+0.03+0.02+2α）×10=1，
解得α=0.005；…（2分）
（Ⅱ）55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73，
所以平均分為73；…（4分）
由于直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的面積相等，即頻率相等，
前兩組的頻率和為0.45，前三組的頻率和為0.75，
所以中位數(shù)位于第3組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，
（x-70）×0.03+0.45=0.5
x≈72；  …（6分）
小組[60，70）的矩形圖最高，
所以眾數(shù)應(yīng)為$\frac{60+70}{2}$=65； …（8分）
（Ⅲ）分別求出100名學(xué)生中，語文成績在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）的人數(shù)依次為0.05×100=5，0.4×100=40，0.3×100=30，0.2×100=20；
所以100名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）的人數(shù)依次為：
5，20，40，25；
所以數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)有100-（5+20+40+25）=10（人）；
從而推測高二這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)為80（人）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．