Question

4．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n（n∈N^*）．
（1）設c_n=2ⁿ+n，a_n=n+1，當b₁=1時，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=n³，a_n=n²-8n，求正整數(shù)k，使得一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

分析 （1）由題意化簡可得b_n+1-b_n=c_n，從而利用累加法求通項公式；
（2）由a_n=n²-8n可得a_n+1-a_n=2n-7，從而可得b_n+1-b_n=$\frac{{n}^{3}}{2n-7}$，從而討論確定最小值即可．

解答 解：（1）∵c_n=2ⁿ+n，a_n=n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=b_n+1-b_n=c_n，
∴b₂-b₁=c₁，
b₃-b₂=c₂，
b₄-b₃=c₃，
…，
b_n-b_n-1=c_n-1，
累加可得，
b_n-b₁=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1，
∴b_n=1+2+1+4+2+8+3+…+2^n-1+n-1
=2ⁿ+$\frac{n（n-1）}{2}$-1；
（2）∵a_n=n²-8n，
∴a_n+1-a_n=（n+1）²-8（n+1）-（n²-8n）=2n-7，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=（2n-7）（b_n+1-b_n）=c_n=n³，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{n}^{3}}{2n-7}$，
∴當n≤3時，b_n+1-b_n＜0，當n＞3時，b_n+1-b_n＞0，
∴b₄是數(shù)列{b_n}的最小值，
∴k=4．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系的應用及分類討論的思想方法應用，同時考查了累加法的應用．