Question

10．已知命題p：方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；命題q：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2，5]上單調(diào)遞增．
（Ⅰ）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若（?p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)雙曲線的定義即可求出m的范圍；
（Ⅱ）當(dāng)q為真命題時，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)m的范圍，再根據(jù)符合命題，（?p）∧q為真命題，得到p假q真，繼而求出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-3＞0\end{array}\right.$，…（2分）
解得m＞3…（4分）
∴p為真命題時，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，+∞），）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2，5]上單調(diào)遞增，
∴f'（x）=x²-2x+m≥0在[2，5]上恒成立，
即m≥-x²+2x在[2，5]上恒成立．
∵-x²+2x=-（x-1）²+1
∴函數(shù)g（x）=-x²+2x在[2，5]上單調(diào)遞減
∴g（x）_max=g（2）=-4+4=0，
即 q：m≥0
∵（?p）∧q為真命題，
∴p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤3\\ m≥0\end{array}\right.$，
∴0≤m≤3
∴（?p）∧q為真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，3]．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的真假與構(gòu)成其簡單命題的真假的關(guān)系，解決此類問題應(yīng)該先求出簡單命題為真時參數(shù)的范圍，屬于中檔題．