Question

14．如圖，已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D，且與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的方程可得A，B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，進(jìn)而求得x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求得x₀的表達(dá)式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，進(jìn)而求得x₀的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等求得k．
（Ⅱ）由題設(shè)可知|BO|和|AO|的值，設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，進(jìn)而可表示出四邊形AEBF的面積，進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，A（2，0），B（0，1），
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，設(shè)D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．①
由$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x₀=$\frac{2}{1+2k}$，
所以$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{2}{1+2k}$，
化簡(jiǎn)得24k²-25k+6=0，
解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$．
（Ⅱ）由題設(shè)，|BO|=1，|AO|=2．
由（Ⅰ）知，E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），
不妨設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，
根據(jù)E與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△OBE+S_△OBF+S_△OAE+S_△OAF
=$\frac{1}{2}$|OB|•（-x₁）+$\frac{1}{2}$|OB|•x₂+$\frac{1}{2}$|OA|•y₂+$\frac{1}{2}$|OA|•（-y₁）
=$\frac{1}{2}$|OB|（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$|OA|（y₂-y₁）=x₂+2y₂
=$\sqrt{（{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{2}{y}_{2}}$≤$\sqrt{2（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大．