Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|2^x-1|，實(shí)數(shù)a＜b，且f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是（-∞，0）．

Answer 1

分析 將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)實(shí)數(shù)a＜b，且f（a）=f（b），結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得a+b的取值范圍．

解答 解：∵$f（x）=|{2}^{x}-1|=\left\{\begin{array}{l}1-{2}^{x}，（x≤0）\\{2}^{x}-1，（x＞0）\end{array}\right.$，
若a＜b≤0，由f（a）=f（b）得1-2^a=1-2^b，得a=b，與a＜b矛盾；
若0＜a＜b，由f（a）=f（b）得2^a-1=2^b-1，得a=b，與a＜b矛盾；
若a＜0＜b，由f（a）=f（b）得1-2^a=2^b-1，得2^a+2^b=2，
而${2^a}+{2^b}＞2\sqrt{{2^a}•{2^b}}=2\sqrt{{2^{a+b}}}$，
∴2^a+b＜1=2⁰，
∴a+b＜0，
故a+b的取值范圍是（-∞，0），
故答案為：（-∞，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分類函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．