Question

20．已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)y=f（x）滿足下列三個(gè)條件：
①y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)a、b滿足f（ab）=f（a）+f（b）；
③f（3）=-1
（1）求f（9）的值；
（2）解不等式f（x）＜f（x+1）-2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=y=3，即可求出f（9）的值；
（2）根據(jù)已知條件原不等式轉(zhuǎn)化為f（x）＜f（9x+9），再根據(jù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；且f（x）為偶函數(shù)，得到不等式組，解得即可．

解答 解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），f（3）=-1
令x=y=3，
則f（9）=2f（3）=-2，
（2）∵f（x）＜f（x+1）-2，
∴f（x）＜f（x+1）+f（9）=f（9x+9），
∵y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；且f（x）為偶函數(shù)，
∴y=f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴①$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{9x+9＞0}\\{x＞9x+9}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{9x+9＜0}\\{x＜9x+9}\end{array}\right.$，
解不等式組①得，無解，
解得不等式組②得，-$\frac{9}{8}$＜x＜-1，
故不等式f（x）＜f（x+1）-的解集為（-$\frac{9}{8}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)應(yīng)用，賦值法是常用的方法，以及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題．