Question

5．某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A，B，C，D四個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯(cuò)任意題減2分；
②每答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累積分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累積分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；答完四題累計(jì)分?jǐn)?shù)不足14分時(shí)，答題結(jié)束淘汰出局；
③每位參加者按A，B，C，D順序作答，直至答題結(jié)束．
假設(shè)甲同學(xué)對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（Ⅰ）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A，B，C，D分別是第一、二、三、四個(gè)問題，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個(gè)問題回答正確，用N_i（i=1，2，3，4）表示第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤，根據(jù)兩者之間為獨(dú)立事件列式求解．
（Ⅱ）列出隨機(jī)變量ξ可能的取值，根據(jù)事件的獨(dú)立性求出每個(gè)的概率得到分布列期望．

解答 解：設(shè)A，B，C，D分別是第一、二、三、四個(gè)問題，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個(gè)問題回答正確，用N_i（i=1，2，3，4）表示第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則M_i與N_i（i=1，2，3，4）是對立事件，由題意得，P（M₁）=$\frac{3}{4}$，P（M₂）=$\frac{1}{2}$，P（M₃）=$\frac{1}{3}$
P（M₄）=$\frac{1}{4}$則P（N₁）=$\frac{1}{4}$，P（N₂）=$\frac{1}{2}$，P（N₃）=$\frac{2}{3}$，P（N₄）=$\frac{3}{4}$，
（Ⅰ）記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q，則Q=M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N3M₄
由于每題答題結(jié)果互相獨(dú)立，因此
P（Q）=P（M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N3M₄）
=P（M₁M₂M₃+）+P（N₁M₂M₃M₄）+P（M₁N₂M₃M₄）+P（N₁M₂N₃M₄）
=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$$+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
（Ⅱ）由題意可知隨機(jī)變量ξ可能的取值為2，3，4，．
由于每題的答題結(jié)構(gòu)都是相對獨(dú)立的，所以P（ξ=2）=P（N₁N₂），
P（ξ=3）=P（M₁M₂M₃）+P（M₁N₂N₃）=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$+$\frac{3}{4}$$•\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$
P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-$\frac{1}{8}$-$\frac{3}{8}$=$\frac{1}{2}$
因此隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$

所以Eξ=2×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{3}{8}$+4×$\frac{1}{2}$=$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查概率的求法和隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題，高考題常有涉及．