Question

5．一種畫橢圓的工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l₁：x-2y=0和l₂：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn)．若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出a，b即可求橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出原點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)D（t，0），|t|≤2，
N（x₀，y₀），M（x，y），由題意得$\overrightarrow{MD}$=2$\overrightarrow{DN}$，
且|$\overrightarrow{DN}$|=|$\overrightarrow{ON}$|=1，
∴（t-x，-y）=2（x₀-t，y₀），且$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{0}-t）^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t-x=2{x}_{0}-2t}\\{y=-2{y}_{0}}\end{array}\right.$，且t（t-2x₀）=0，
由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，∴t不恒等于0，
于是t=2x₀，故x₀=$\frac{x}{4}$，y₀=-$\frac{y}{2}$，
代入x₀²+y₀²=1，得方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

（2）①當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l為：x=4或x=-4，都有S_△OPQ=$\frac{1}{2}×4×4=8$，
②直線l的斜率k存在時(shí)，直線l為：y=kx+m，（k$≠±\frac{1}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$消去y，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∵直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）=0，即m²=16k²+4，①，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，可得P（$\frac{2m}{1-2k}$，$\frac{m}{1-2k}$），同理得Q（$\frac{-2m}{1+2k}$，$\frac{m}{1+2k}$），
原點(diǎn)O到直線PQ的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$和|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x_P-x_Q|，
可得S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{2}$|m||x_P-x_Q|=$\frac{1}{2}$|m||$\frac{2m}{1-2k}+\frac{2m}{1+2k}$|=|$\frac{2{m}^{2}}{1-4{k}^{2}}$|②，
將①代入②得S_△OPQ=|$\frac{2{m}^{2}}{1-4{k}^{2}}$|=8|$\frac{4{k}^{2}+1}{4{k}^{2}-1}$|，
當(dāng)k²＞$\frac{1}{4}$時(shí)，S_△OPQ=8（$\frac{4{k}^{2}+1}{4{k}^{2}-1}$）=8（1+$\frac{2}{4{k}^{2}-1}$）＞8，
當(dāng)0≤k²＜$\frac{1}{4}$時(shí)，S_△OPQ=8|$\frac{4{k}^{2}+1}{4{k}^{2}-1}$|=-8（$\frac{4{k}^{2}+1}{4{k}^{2}-1}$）=8（-1+$\frac{2}{1-4{k}^{2}}$），
∵0≤k²＜$\frac{1}{4}$時(shí)，∴0＜1-4k²≤1，$\frac{2}{1-4{k}^{2}}$≥2，
∴S_△OPQ=8（-1+$\frac{2}{1-4{k}^{2}}$）≥8，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)k=0時(shí)，S_△OPQ的最小值為8，
綜上可知當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，三角形OPQ的面積存在最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解，以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．