Question

15．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A₁BE的位置，得到四棱錐A₁-BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）當平面A₁BE⊥平面BCDE時，四棱錐A₁-BCDE的體積為36$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （I）運用E是AD的中點，判斷得出BE⊥AC，BE⊥面A₁OC，考慮CD∥DE，即可判斷CD⊥面A₁OC．
（II）運用好折疊之前，之后的圖形得出A₁O是四棱錐A₁-BCDE的高，平行四邊形BCDE的面積S=BC•AB=a²，運用體積公式求解即可得出a的值．

解答 解：
（I）在圖1中，
因為AB=BC=$\frac{1}{2}AD$=a，E是AD的中點，
∠BAD=$\frac{π}{2}$，
所以BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥A₁O，BE⊥OC，
從而BE⊥面A₁OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A₁OC，
（II）即A₁O是四棱錐A₁-BCDE的高，
根據(jù)圖1得出A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴平行四邊形BCDE的面積S=BC•AB=a²，
V=$\frac{1}{3}×S×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a³，
由a=$\frac{\sqrt{2}}{6}$a³=36$\sqrt{2}$，得出a=6．

點評 本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問題，運用好折疊之前，之后的圖形，對于空間直線平面的位置關(guān)系的定理要很熟練．