Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)c_n=2ⁿ+λb_n，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ使得數(shù)列{c_n}（n∈N^*）是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），可得a₁=2a₁-2，解得a₁=2；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．即可得出．
（2）$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，n≥2時(shí)，$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+$（-1）^{n}•\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，相減可得：b_n=（-1）ⁿ$（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$．當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{3}{2}$．
（3）c_n=2ⁿ+λb_n，n≥3時(shí)，c_n=2ⁿ+λ$（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$，c_n-c_n-1=2^n-1+$（-1）^{n}•λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0，即（-1）ⁿ•λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．①當(dāng)n為大于或等于4的偶數(shù)時(shí)，λ＞-$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$．②當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，λ＜$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$．當(dāng)n=2時(shí)，c₂-c₁＞0，即λ＜8．即可得出．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），可得a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2．∴a_n=2ⁿ．
（2）∵$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{_{1}}{2+1}$-$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$$+\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+$（-1）^{n}•\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，
∴$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，∴b_n=（-1）ⁿ$（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$．
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得b₁=$\frac{3}{2}$．∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$．
（3）c_n=2ⁿ+λb_n，
∴n≥3時(shí)，c_n=2ⁿ+λ$（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$，c_n-1=2^n-1+（-1）^n-1λ$（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）$，
c_n-c_n-1=2^n-1+$（-1）^{n}•λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0，即（-1）ⁿ•λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．
①當(dāng)n為大于或等于4的偶數(shù)時(shí)，λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，即λ＞-$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，λ＞-$\frac{128}{35}$．
②當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，λ＜$\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，λ＜$\frac{32}{19}$．
當(dāng)n=2時(shí)，c₂-c₁=$（{2}^{2}+\frac{5}{4}λ）$-$（2+\frac{3}{2}λ）$＞0，即λ＜8．
綜上可得：λ的取值范圍是$（-\frac{128}{35}，\frac{32}{19}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類(lèi)討論方法、不等式的解法、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．