Question

14．甲袋中裝有2個(gè)白球1個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中連續(xù)3次有放回的摸出一球，從乙袋中連續(xù)兩次有放回的摸出一球．
（1）求從甲袋中恰有一次摸出白球同時(shí)在乙袋中恰有一次摸出紅球的概率；
（2）求從甲袋中摸出白球的次數(shù)與從乙袋中摸出白球的次數(shù)之和為2的概率；
（3）設(shè)從甲袋中摸出白球的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求Eξ．

Answer 1

分析 （1）由題意知現(xiàn)從甲袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{2}{3}$，從乙袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{3}{4}$，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰到好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出從甲袋中恰有一次摸出白球同時(shí)在乙袋中恰有一次摸出紅球的概率．
（2）從甲袋中摸出白球的次數(shù)與從乙袋中摸出白球的次數(shù)之和為2的情況有：從甲袋中摸出2次白球，從乙袋摸出0次白球；從甲袋中摸出1次白球，從乙袋摸出1次白球；從甲袋中摸出0次白球，從乙袋摸出2次白球，由此能求出從甲袋中摸出白球的次數(shù)與從乙袋中摸出白球的次數(shù)之和為2的概率．
（3）由題意得從甲袋中摸出白球的次數(shù)ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出Eξ．

解答 解：（1）由題意知現(xiàn)從甲袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{2}{3}$，
從乙袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{3}{4}$，
∴從甲袋中連續(xù)3次有放回的摸出一球，從乙袋中連續(xù)2次有放回的摸出一球．
從甲袋中恰有一次摸出白球同時(shí)在乙袋中恰有一次摸出紅球的概率：
p₁=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）$=$\frac{43}{72}$．
（2）從甲袋中摸出白球的次數(shù)與從乙袋中摸出白球的次數(shù)之和為2的情況有：
從甲袋中摸出2次白球，從乙袋摸出0次白球；從甲袋中摸出1次白球，從乙袋摸出1次白球；從甲袋中摸出0次白球，從乙袋摸出2次白球，
∴從甲袋中摸出白球的次數(shù)與從乙袋中摸出白球的次數(shù)之和為2的概率：
p₂=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）{C}_{2}^{0}（\frac{1}{4}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）$+${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$
=$\frac{25}{144}$．
（3）由題意得從甲袋中摸出白球的次數(shù)ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
∴Eξ=3×$\frac{2}{3}=2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰到好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式的合理運(yùn)用．