Question

18．（1）已知冪函數(shù)f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）}$ （t∈Z）是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，求整數(shù)t的值，并作出相應(yīng)的冪函數(shù)的大致圖象；
（2）已知冪函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2-m-{m}^{2}}}$在（-∞，0）上是減函數(shù)．求m的最大負整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）由冪函數(shù)的定義、奇偶性和單調(diào)性，能求出整數(shù)t的值，并作出相應(yīng)的冪函數(shù)的大致圖象．
（2）由已知條件利用冪函數(shù)的性質(zhì)得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-2是偶數(shù)}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，由此能求出m的最大負整數(shù)值．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）}$ （t∈z）是偶函數(shù)，
且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}-t+1=1}\\{\frac{1}{5}（7+3t-2{t}^{2}）＞0}\\{7+3t-2{t}^{2}偶數(shù)}\end{array}\right.$，
解得t=1或t=-1．
t=1時，f（x）=${x}^{\frac{2}{5}}$，t=-1時，f（x）=${x}^{\frac{8}{5}}$．
（2）∵冪函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2-m-{m}^{2}}}$=${x}^{{m}^{2}+m-2}$在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-2是偶數(shù)}\\{{m}^{2}+m-2＞0}\end{array}\right.$，
解得m＞1或m＜-2，
∴m的最大負整數(shù)值為-3．

點評 本題主要考查冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．