Question

16．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點（2，0）和點（0，1）
（1）求橢圓的標準方程；
（2）焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出橢圓的頂點坐標以及a、b的值，寫出橢圓的標準方程即可；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，得出$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，利用勾股定理以及橢圓的定義求出|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|的值，即得△F₁PF₂的面積．

解答 解：（1）∵橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點（2，0）和點（0，1），
∴a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，
∴${|\overrightarrow{{PF}_{1}}|}^{2}$+${|\overrightarrow{{PF}_{2}}|}^{2}$=（2c）²=${（2\sqrt{3}）}^{2}$=12①；
又|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=2a=4，
∴${|\overrightarrow{{PF}_{1}}|}^{2}$+2|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|+${|\overrightarrow{{PF}_{2}}|}^{2}$=16②；
由①、②得，|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=2，
∴△F₁PF₂的面積為${S}_{{△F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{PF}_{2}}$|=1．

點評 本題主要考查了橢圓的定義與標準方程以及平面向量的數(shù)量積的應用問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓標準方程中a，b和c之間的關(guān)系，是基礎題目．