Question

11．函數(shù)y=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求該函數(shù)的解析式．
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$時，求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖可知A=2，由周期公式可得ω=2，代入點（-$\frac{π}{12}$，2）可得ϕ=$\frac{2π}{3}$，可得y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
（2）由$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$，可得2x+$\frac{2π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，π]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得．

解答 解：（1）由圖可知A=2，T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=2，∴y=2sin（2x+ϕ），
代入點（-$\frac{π}{12}$，2）可得2=2sin（-$\frac{π}{6}$+ϕ），
∴sin（-$\frac{π}{6}$+ϕ）=1，-$\frac{π}{6}$+ϕ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π，∴當(dāng)k=時，ϕ=$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)的解析式為y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
（2）∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$，∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，π]，
∴當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{3}$即x=$-\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最小值-$\sqrt{3}$；
當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=-$\frac{π}{12}$時，函數(shù)取最大值2，
故函數(shù)的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的解析式求解和值域，屬基礎(chǔ)題．