Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

（Ⅰ）由已知得，，故     4分
（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)．
因?yàn)橹本�與圓M相切，故其中的一條切線方程為．
由不妨設(shè)，，
則以AB為直徑的圓的方程為，顯然過原點(diǎn)．      6分
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)．
設(shè)直線的方程為．因?yàn)橹本�和圓M相切，所以圓心到直線的距離，整理，得， ①
由消去，得，
所以設(shè)，，則，．
所以．
所以．②
將①代入②，得，顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)O(0，0)
綜上可知，以AB為直徑的圓過定點(diǎn)(0，0)．（13分）       12分
【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及綜合分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算能力．