Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f′（2）x，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令x=2，求出f′（2）的值即可．
（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x-f′（2），
令x=2，則f′（2）=2-f′（2），解得f′（2）=1，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x．
（2）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a，
即$\frac{1}{2}$x²-x+lnx-$\frac{1}{2}$x²=lnx-x≤a恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-x，
則函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)h′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由h′（x）＜0，得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞減，
即當(dāng)x=1是，函數(shù)h（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值h（1）=ln1-1=-1，
故a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．